Định lý giá trị trung bình với hàm một biến được tổng quát lên với hàm nhiều biến bằng cách sử dụng tham số. Đặt G {\displaystyle G} là một tập con mở của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , và đặt f : G → R {\displaystyle f:G\to \mathbb {R} } là một hàm khả vi. Cố định các điểm x , y ∈ G {\displaystyle x,y\in G} sao cho khoảng mở ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} nằm trong G {\displaystyle G} và đặt g ( t ) = f ( ( 1 − t ) x + t y ) {\displaystyle g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}} . Vì g {\displaystyle g} là hàm một biến khả vi, áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có

g ( 1 ) − g ( 0 ) = g ′ ( x ) {\displaystyle g(1)-g(0)=g'(x)}

với c ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle c\in (0,1)} . Lại có g ( 1 ) = f ( y ) {\displaystyle g(1)=f(y)} và g ( 0 ) = f ( x ) {\displaystyle g(0)=f(x)} , tính trực tiếp g ′ ( c ) {\displaystyle g'(c)} , ta có

f ( y ) − f ( x ) = ∇ ( ( 1 − c ) x + c y ) ⋅ ( y − x ) {\displaystyle f(y)-f(x)=\nabla {\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (y-x)} ,

trong đó ∇ {\displaystyle \nabla } là vector gradient và ⋅ {\displaystyle \cdot } ký hiệu tích vô hướng. Chú ý rằng đây chính là phiên bản tương tự của định lý với hàm một biến. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, đẳng thức trên cho ta

| f ( y ) − f ( x ) | ≤ | ∇ f ( ( 1 − c ) x + c y ) | | y − x | {\displaystyle |f(y)-f(x)|\leq {\big |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\big |}|y-x|} .

Đặc biệt, khi các đạo hàm riêng của f {\displaystyle f} bị chặn, f {\displaystyle f} liên tục Lipschitz (và do đó hội tụ đều). Chú ý rằng f {\displaystyle f} không được giả sử rằng khả vi liên tục cũng như liên tục trên bao đóng của G {\displaystyle G} . Tuy nhiên, ta đã sử dụng quy tắc xích, do đó sự tồn tại của ∇ f {\displaystyle \nabla f} là không cần thiết.

Ta sẽ chứng minh rằng f {\displaystyle f} là hàm hàng nếu G {\displaystyle G} liên thông và mọi đạo hàm riêng của f {\displaystyle f} đều bằng 0. Lấy x 0 ∈ G {\displaystyle x_{0}\in G} và đặt g ( x ) = f ( x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})} . Ta sẽ chỉ ra rằng g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} với mọi x ∈ G {\displaystyle x\in G} . Thật vậy, đặt E = { x ∈ G ∣ g ( x ) = 0 } {\displaystyle E=\{x\in G\mid g(x)=0\}} . Khi đó E {\displaystyle E} đóng và khác rỗng. Đồng thời E {\displaystyle E} cũng là tập mở: với mọi x ∈ E {\displaystyle x\in E} , ta có

| g ( y ) | = | g ( y ) − g ( x ) | ≤ 0 | y − x | = 0 {\displaystyle |g(y)|=|g(y)-g(x)|\leq 0|y-x|=0}

với mọi y {\displaystyle y} trong một lân cận nào đó của x {\displaystyle x} . Vì G {\displaystyle G} liên thông, ta suy ra E = G {\displaystyle E=G} .

Chú ý rằng tất cả các lập luận bên trên không phụ thuộc vào tọa độ, do đó, trên thực tế chúng ta đã tổng quát cho trường hợp G {\displaystyle G} là tập con của một không gian Banach.